머신러닝/딥러닝에 필요한 기초 수학 with 파이썬 (2장)

* LATEX 문법 위키 링크 

** 티스토리의 서식에 따라서 적용이 안될 수 있다고 한다. Like 이 페이지 ㅜㅜ. 

 

2장 함수: 세상의 모든 것을 입력과 출력으로 바라보기 

 

- 함수란 무엇인가? 

    - 입출력 관계를 수학적으로 기술하기 위한 도구이다. 

    - 함수를 도구로 사용하여 입출력 관계를 정밀하게 설명하는 작업을 '모델링'이라고 한다. 

        - 정확한 정의는?

            - 공집합이 아닌 두 집합 X,Y에 대해서 X의 각 원소에 Y의 원소가 1대1 대응일 때, 이 대응 f를 X에서 Y로의 함수

            - 지도 학습의 관점에서 입력 집합 X와 출력 집합 Y간의 관계인 대응 f를 찾는 것이다.

            - 함수가 1대1 대응인 관계인 이유

                - 동일한 입력이 들어가면 동일한 출력이 나와야 하기 때문임

                - 그렇다면 이 때 어떤 입력 x에 따라 출력 y가 결정됨, y의 변화는 x의 변화에 종속되어 있는 관계

                - 따라서 x를 독립변수(독립적으로 변화하고) y를 종속변수(x의 변화에 종속된 변수)라고 한다.  

        -  함수의 기호 표현은? 

            - f:X→Y ,두 집합과의 관계를 강조한 표현 

            - y=f(x) , 입력과 출력관계를 강조한 표현 

            - 첫번째 표현이, 입력과 출력이 여러 개인 함수를 나타날 때 관계를 좀 더 명확하게 표현할 수 있음. 

            - f:X→Y 관계에서 집합 x는 함수 f의 정의역(domain)이라고 하고, 

            - 집합 Y는 함수 f의 공역(codomain)이라고 한다. 

       - 입출력 관계(함수의 성질 혹은 경향)는 시각화로 파악하기 좋다.

           - 좌표계를 통해서 시각화 한다. 

               - 좌표계는 차원(공간)에서 존재하는 대상을 고유한 숫자로 표현하는 시스템이다.  

               - 많은 경우 직교 좌표계 ( rectangular coordinate system = cartesian coordinate system )을 사용

   

    - 함수는 어떤 것이 있나?

        - 대표적으로 다항함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수 등이 있다. 

            - 다항함수 

                - 다항함수란, 다항식으로 이루어진 함수를 말한다.

                    - 다항식이란 항(term)이 여러개인 식을 말한다. 

                        - 항이란, 어떤 숫자와 문자로 이루어진 계산단위이다.

                - 즉, 어떤 숫자와 문자로 이루어진 항이 여러개인 식으로 이루어진 함수이다.

                    - ex)  ( 3x**2) + (−3x) +(2) 은 다항식이다. 

                - 단항식 역시 다항식에 포함된다. 

            - 지수함수 

                - 지수함수란, y = a ** x 처럼 거듭제곱 꼴의 함수를 말함. 

                    - a는 밑(상수), x는 지수(변수)이다. 

                        - 함수의 관점에서, y라는 출력은 상수 a를 몇 번(x번) 거듭해서 곱해야 나오는 관계인건지?를 찾는것.

                    - 지수함수는 x의 변화에 대해서 y의 변화가 매우 크다. exponential 지수적으로 증가한다는 표현.

                - 지수 법칙. 따로 정리 안하겠음. 

                - 조건 y = a**x 일때 밑 a > 0, a != 1. 

                    - a = 1이면 거듭제곱해도 1이다. 상수함수.

                    - a > 0 인 이유는 여러가지가 있음. 

                        - 대표적으로 a > 0 일 때 연속하며 미분가능함. 

                        - 지수함수의 기본 법칙들이 성립하기 위한 조건. 

                - 거듭제곱근 

                    - 2이상의 정수 n에 대해서 x**n = a이라면, x를 a의 n제곱근이라고 함. 

                    - 거듭제곱근은 n개 존재하며, 무리수일 수도 있다. 

                        - 이 말은, 항상 유리수로 표현이 안될 수 있다. 

                        - 따라서 굳이 루트 표기를 하는 이유가 거듭제곱근을 표하기 편리하기 때문인 것

                - 자연상수 

                    - ( 1 + 1/x ) ** x. 2.78..... 무리수임.

                        - 위의 지수식에서 x 가 무한히 커지면 ( 극한 ) 1/x은 0에 가까워지기 때문에 밑이 1이 됨. 

                        - 따라서 x가 아무리 커져도 2.78....이라는 특정 값에 수렴하게 되는 것임. 

                    - 자연상수 e가 밑인 지수함수 e**x는 미분해도 e**x임. 즉 도함수가 자기 자신인 유용한 성질이 있다.

                    - 베르누이가 밝혀내고ㅡ 오일러가 자연상수 e로 처음 표기하여 논문에 등장함. 

                    - python에서는 math.e , numpy.e에 상숫값이 소숫점 아래 15자리로 정의되어 있음. 

                        - float64 포맷임 = 64비트 부동 소수점 

                            - 부호부 = 1 비트, 지수부 11비트, 가수부 52 비트 

                            - 가수부 52비트는 2진수임. 아래의 로그 성질을 이용하면, 52 * log2임. log2는 0.301 정도라 곱하면 15~

                - 로그함수

                    - 지수 함수의 역함수

                        - 따라서 로그함수의 정의역은 양의 실수이다. 

                        - 지수 함수가 ( x=0 ,f(x)=1 ) 을 지나니, 로그 함수는 ( 1, 0 )을 지난다. 

                        - 지수 함수가 밑이 달라져도 반드시 ( 0,1 )을 지나듯이, 로그 함수 밑이 달라져도 ( 1, 0 )을 반드시 지난다.  

                    - 로그함수의 계산 법칙. 따로 정리 안하겠음. 

                    - 파이썬에서 임의의 밑을 가지는 로그를 계산하기 위해서는 밑 변환 성질을 활용하여야 함.

                        - math나 numpy 라이브러리를 활용할 수 있음  

                            - np.log(x) / np.log(base) 이면 밑이 base이고 진수가 x인 로그함수임 

 

                - 역함수 

                    - 역함수란?

                        - 어떤 함수에 이 출력 y를 입력하면 합수의 입력인 x를 출력해주는 함수 

                    - 역함수의 존재 조건 

                        - 역함수가 항상 존재하는 것은 아님

                            - 정의역과 공역이 1대1 대응일 때만 존재함 

                                - 예를 들어, 지수함수는 1대1 대응임

 

                - 로지스틱 시그모이드 함수

                    - 로지스틱 시그모이드 함수란?

                        - sig(z) = 1 / (1 + e ** -z) 인 s자 형태의 함수 

                        - 정의역은 실수 전체이나, 함숫값은 0 에서 1 사이임

                            - 어떤 값이라도 0 에서 1 사이로 변환되게 함. 따라서 스쿼싱 함수라고 부르기도 함. 

                            - 확률적으로 해석하기도 함. 

 

- 수 체계에 대해서 

    - 자연수, N ( Natural Number ) 

        - 자연수의 갯수는 무한하지만, 셀 수 있다. 

    - 정수, Z ( Z is like Alpha ~ Omega ) 

        - 정수는 자연수에 0과 음수를 더한 것이다. 

        - 정수도 무한히 많지만 셀 수 있다.

        - Z를 알파~오메가 처럼 사용한 것은, 이제 이산적인 모든 수를 포함하는 집합을 찾았기 때문이다.  

    - 유리수, Q ( Quotients, rational number ) 

        - 분자와 분모로 정수를 갖는 분수로 나타낼 수 있는 수. 

        - rational number는 ratio 즉, 비율이 있는 수를 뜻함. 

        - 자연수와 정수역시 유리수임. ex) 4/2 = 2, 13/1 = 13. 이처럼 분자와 분모로 정수를 갖는 분수로 나타낼 수 있기 때문임.  

        - 무한하지만 셀 수 있음. 

    - 무리수, I ( Irrational number ) 

        - Irrational, 즉 비율로 표현하기 힘든 수.

        - 무한히 많으며 셀 수 없음.  

    - 실수, R ( Real Number )

        - 유리수와 무리수를 더한 수.

        - 수직선을 그었을 때 그 위에 있는 모든 수. 

        - 실수의 대부분은 무리수임.

        - 무한히 많으며 셀 수 없음.   

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